Construye la serie armónica musical con matemáticas

En una entrada anterior se habló sobre las características físicas y matemáticas del sonido, donde se concluyó que una onda sonora tiene una frecuencia de oscilación que musicalmente representa el tono (o entonación) del sonido (ver Las matemáticas en el sonido y la música).

Retomando algunas cosas, sabemos que la nota que emite un diapasón común es la nota musical La a una frecuencia de 440Hz. También sabemos que los sonidos de la escala musical, desde el más grave hasta el más agudo, están entre las frecuencias de 20 Hz hasta 16000 Hz aproximadamente, aunque algunas personas llegan a escuchar hasta los 20000 Hz. Comencemos de lleno con el tema.

La escala musical

Existen siete nombres para cada sonido de la escala musical diatónica que desde el más grave al más agudo son: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si. Al final del Si se repite el Do y se comienza de nuevo la escala. Sin embargo, ese segundo Do no es exactamente igual al primero, sino que se dice que está una octava por encima del primer Do, es decir, una octava más agudo.

Escala mayor diatónica en la tonalidad de Do
Figura 1. La escala diatónica.

 


El hecho de que escuchemos el segundo Do “igual pero una octava arriba” respecto del primer Do es una cuestión puramente psicoacústica.

El intervalo de octava

La octava es un término común tanto en la teoría de señales como en la música. En música la octava es el sonido que se encuentra a una distancia de 6 tonos o de 12 semitonos por arriba del sonido fundamental. En física matemáticas, por su parte, una octava es la frecuencia que es el doble de una frecuencia fundamental. Por lo anterior, la nota Do más aguda (cuarto espacio del pentagrama) de la Figura 1 es una señal con una frecuencia que es el doble de la frecuencia del primer Do (primera línea adicional inferior).

En la Figura 2 se observa un intervalo de octava musical con sus respectivas frecuencias. La frecuencia de la nota más aguda (octava musical ascendente) tiene el doble de frecuencia que la nota fundamental.

Intervalo de octava en frecuencia y en notación musical
Figura 2. Intervalo de octava

Más adelante veremos con detenimiento otros intervalos musicales.

La serie armónica musical

Ya sabemos que la octava de una nota o de una onda con cierta frecuencia se obtiene multiplicando esa frecuencia por 2, y de hecho podríamos multiplicar la frecuencia de una nota fundamental por cualquier número. Al conjunto de frecuencias u ondas que se obtienen de multiplicar una frecuencia fundamental por cada número entero se le llama serie armónica. La serie armónica se obtiene con la siguiente fórmula:fn=nf1(1)fn=nf1(1)donden=1,2,3,...f1:= frecuencia fundamentalfn:= elemento n-ésimo de la serien=1,2,3,…f1:= frecuencia fundamentalfn:= elemento n-ésimo de la serie

Ejemplo de una serie armónica

Tomemos como base la nota Do con una frecuencia de 66 Hz. Entonces nuestra frecuencia fundamental y primer elemento de la serie será f1=66 Hzf1=66 Hz. Calculemos los diez primeros elementos de la serie armónica utilizando la fórmula (1):
f2=2×66 Hz=132 Hzf3=3×66 Hz=198 Hzf4=4×66 Hz=264 Hzf5=5×66 Hz=330 Hzf6=6×66 Hz=396 Hzf7=7×66 Hz=462 Hzf8=8×66 Hz=528 Hzf9=9×66 Hz=594 Hzf10=10×66 Hz=660 Hzf2=2×66 Hz=132 Hzf3=3×66 Hz=198 Hzf4=4×66 Hz=264 Hzf5=5×66 Hz=330 Hzf6=6×66 Hz=396 Hzf7=7×66 Hz=462 Hzf8=8×66 Hz=528 Hzf9=9×66 Hz=594 Hzf10=10×66 Hz=660 Hz
Utilizando la fórmula sn=sin(2?fnt)sn=sin?(2?fnt) las ecuaciones para cada una de esas ondas se podrían escribir como:
s1=sin(132?t)s2=sin(264?t)s3=sin(396?t)s4=sin(528?t)s5=sin(660?t)s6=sin(792?t)s7=sin(924?t)s8=sin(1056?t)s9=sin(1188?t)s10=sin(1320?t)s1=sin?(132?t)s2=sin?(264?t)s3=sin?(396?t)s4=sin?(528?t)s5=sin?(660?t)s6=sin?(792?t)s7=sin?(924?t)s8=sin?(1056?t)s9=sin?(1188?t)s10=sin?(1320?t)

¿Cómo se escucha esa serie?

Utilizando Audacity puedes ir a: Menú Generar > Tono… y en la caja de Frecuencia ingresas las frecuencias de cada sonido de la serie armónica anterior con una duración de un segundo. Se escucharía así:


Dependiendo del sistema en que sea escuchado este audio tal vez no se pueda apreciar el primer sonido de 66 Hz. Intenta con audífonos.

En notación musical esta serie armónica equivale, aproximadamente, a las siguientes notas:

Serie armónica a partir de Do a 66 Hz
Figura 3. Serie armónica a partir de Do 66 Hz

La nota que evidentemente suena extraña es el armónico 7, Si bemol, marcada con un asterisco. Esto se debe a que la serie armónica se construye con relaciones numéricas de frecuencia que a menudo no satisfacen a la sensación de entonación o afinación del oído humano.

Sin embargo este aspecto corresponde al tema de los sistemas de entonación que se verán en futuras entradas. Al final nos daremos cuenta de que las matemáticas en la música deben servir y ser ajustadas a los caprichos del oido humano.

Fuentes

1. Miyara, Federico. Acústica y Sistemas de Sonido. Mexico : UNR Editora, 2004.
2. Olson, Harry F. Music, Physics and Engineering. Second Edition. New York : Dover Publications, 1952. 486-21769-8.

Post completo en: Delta de equis

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